Docente: Dott. Alessandro Calamai
Testi di riferimento:
- "Analisi Matematica 2"
- M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Ed.Zanichelli.
- "Matematica per l'ingegneria dell'informazione"
- G.C. Barozzi, Ed.Zanichelli.
Curve e Superfici. Integrazione multipla.
- 07-03-11 --- 3 ore
- Presentazione del corso. Funzioni a valori
vettoriali. Definizione di limite e di funzione continua.
- Curve (arco di curva parametrica). Definizione di curva continua, semplice e
chiusa. Derivata di una curva: significato geometrico. Retta
tangente.
- Curve regolari e generalmente regolari. Esempi di
curve. Curve in coordinate polari.
- 08-03-11 --- 2 ore
- Curve rettificabili. Lunghezza di una curva. Teorema di
rettificabilità delle curve regolari.
- Cambiamenti di parametro. Curve
equivalenti. Orientazione. Invarianza della lunghezza.
- Ascissa curvilinea. Esempi.
- 09-03-11 --- 3 ore
- Ascissa curvilinea. Curve nello spazio. Curvatura e
torsione. Versore tangente, normale e binormale. Triedro
fondamentale. Equazioni di Frenet.
- Integrale curvilineo (di prima specie) di una funzione. Invarianza
dell'integrale per parametrizzazioni equivalenti e cambi di orientazione.
- Applicazioni: calcolo del baricentro e dei momenti
d'inerzia rispetto a un asse fissato di una linea materiale. Esempi.
- 14-03-11 --- 3 ore
- Campi vettoriali nello spazio. Lavoro di un campo di forze
lungo un cammino orientato.
- Forme differenziali lineari nello spazio. Esempio: il
differenziale di una funzione reale di più variabili reali.
- Esercizi di riepilogo su lunghezza delle curve e integrali curvilinei.
- 15-03-11 --- 2 ore
- Forme differenziali lineari in R^n. Integrale di una forma
lungo una curva orientata, o integrale curvilineo di seconda
specie.
- Forme esatte. Primitive di una forma in un aperto connesso.
- Indipendenza dell'integrale dal cammino. Campi conservativi.
Teorema di caratterizzazione delle forme esatte.
- 16-03-11 --- 3 ore
- Forme esatte e chiuse in R^2. Forme chiuse in un
rettangolo. Esempio di forma chiusa ma non esatta.
- Aperti semplicemente connessi. Teorema di
Poincaré.
- Forme in R^3 e campi vettoriali. Forme esatte e campi
conservativi. Potenziale. Forme chiuse e campi
irrotazionali.
- Calcolo di primitive. Calcolo di integrali tramite le primitive.
- 21-03-11 --- 2 ore
- Esercizi di riepilogo su: integrale curvilineo di seconda
specie, forme esatte e chiuse, calcolo di primitive.
- 22-03-11 --- 2 ore
- Integrali multipli. Integrale doppio di una funzione limitata
in un rettangolo. Integrabilità delle funzioni continue.
- Interpretazione dell'integrale doppio come volume. Teorema di
Fubini per i rettangoli.
- Integrale su un insieme limitato. Insiemi misurabili e loro
area.
- Esempio di una funzione limitata non integrabile e di un
insieme non misurabile.
- Insiemi semplici e insiemi regolari. Formule di riduzione.
- 23-03-11 --- 3 ore
- Esercizi vari sulle formule di riduzione.
- Applicazioni dell'integrale doppio al calcolo del baricentro
e dei momenti d'inerzia rispetto a un asse fissato di una piastra
materiale.
- Trasformazioni di coordinate ammissibili. Formula del
cambiamento di coordinate negli integrali doppi.
- Coordinate polari nel piano. Esempi.
- 24-03-11 --- 2 ore
- Integrale triplo. Funzioni limitate in un
parallelepipedo. Teorema di Fubini per gli integrali tripli.
- Integrale su un insieme limitato di R^3. Insiemi misurabili e
loro volume.
- Integrazione per fili e per strati. Formule di
riduzione. Esempi.
- Applicazioni dell'integrale triplo al calcolo del baricentro
e dei momenti d'inerzia rispetto a un asse fissato di un corpo
solido materiale.
- Trasformazioni di coordinate ammissibili. Formula del
cambiamento di coordinate negli integrali tripli.
- Coordinate sferiche e coordinate cilindriche nello
spazio. Esempi.
- 28-03-11 --- 2 ore
- Integrali doppi impropri: esempi. Calcolo dell'integrale
della gaussiana.
- Esercizi di riepilogo su: integrali doppi e tripli, cambio di
coordinate, calcolo di volumi.
- 29-03-11 --- 2 ore
- Teorema di Jordan. Convenzione sull'orientazione dei circuiti
nel piano. Domini regolari nel piano. Orientazione positiva del bordo.
- Formula di Gauss-Green.
- 30-03-11 --- 3 ore
- Superfici regolari in R^3. Piano tangente. Elemento
d'area. Calcolo dell'area di una superficie.
- Esempi: superfici cartesiane e superfici di
rotazione. Paraboloide e sfera. Cono e cilindro. Toro.
- Teoremi di Guldino per il calcolo dell'area di una superficie
di rotazione e del volume di un solido di rotazione.
- Integrale di superficie di una funzione continua. Esempi.
- Applicazioni al calcolo del baricentro e dei momenti
d'inerzia rispetto a un asse fissato di una superficie materiale.
- 31-03-11 --- 2 ore
- Superfici orientate. Orientabilità. Esempi di
superfici non orientabili: nastro di Moebius, bottiglia di Klein.
- Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie
orientata.
- Superfici con bordo. Orientazione positiva indotta sul
bordo. Superfici chiuse. Normale esterna.
- Teorema di Stokes o del rotore. Teorema di Gauss o della
divergenza. Esempi.
- 04-04-11 --- 2 ore
- Esercizi di riepilogo su: flusso di un campo vettoriale,
teorema di Stokes e teorema di Gauss.
Equazioni differenziali ordinarie.
- 05-04-11 --- 2 ore
- Equazioni differenziali ordinarie. Equazioni del primo ordine
in forma normale. Definizione di soluzione.
- Integrale generale. Condizione iniziale. Problema di
Cauchy. Soluzioni massimali.
- Teorema di esistenza di Peano. Teorema di esistenza e
unicità. Equazioni a variabili separabili.
- 06-04-11 --- 3 ore
- Equazioni lineari del primo ordine. Equazione omogenea
associata. Metodo di variazione della costante. Formula
risolutiva. Esempi.
- Tecniche risolutive di equazioni del primo ordine che si riconducono ad
equazioni a variabili separabili o lineari.
- Equazioni omogenee. Equazioni di Bernoulli. Esempi.
- 11-04-11 --- 2 ore
- Il campo complesso. Proprietà algebriche. Numeri
complessi: forma algebrica e forma trigonometrica.
- Formule di de Moivre. Potenze e radici n-esime. Equazioni in
campo complesso.
- 12-04-11 --- 2 ore
- Equazioni differenziali di ordine superiore al
primo. Equazioni di ordine n in forma normale. Definizione di soluzione.
- Condizione iniziale. Problema di
Cauchy. Esistenza e unicità di soluzioni massimali.
- Tecniche risolutive di particolari equazioni del secondo ordine:
riduzione dell'ordine, equazioni autonome.
- Equazioni lineari del secondo ordine. Integrale
generale. Equazione omogenea associata.
- Dimensione dell'insieme delle soluzioni di un'equazione
omogenea. Funzioni linearmente indipendenti. Polinomio caratteristico.
- 13-04-11 --- 3 ore
- Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.
- Equazioni omogenee. Integrale generale. Soluzioni
linearmente indipendenti. Esponenziale complesso. Soluzioni
complesse.
- Equazioni non omogenee. Ricerca di una soluzione
particolare. Metodo di somiglianza. Metodo di variazione delle
costanti. Esempi.
- 14-04-11 --- 2 ore
- Esercitazione svolta dal Dott. Franca.
- 15-04-11 --- 2 ore
- Esercizi di riepilogo su integrali multipli e curve.
- Esercizi sulle equazioni differenziali del primo ordine.
- 18-04-11 --- 2 ore
- Equazioni differenziali lineari del secondo ordine. Principio
di sovrapposizione. Equazioni di Eulero.
- Applicazioni allo studio di un sistema meccanico:
oscillazioni libere, oscillazioni smorzate. Oscillazioni
forzate, battimenti, risonanza.
- Cenno alle applicazioni ad un circuito RLC.
Funzioni di una variabile complessa.
Funzioni olomorfe.
Residui.
- 19-04-11 --- 2 ore
- Numeri complessi. Esponenziale complesso. Forma esponenziale.
- Esempi di funzioni di variabile complessa.
- Limiti di funzioni in campo complesso. Distanza e
intorni. Insiemi aperti, chiusi, connessi. Punti di accumulazione.
- 20-04-11 --- 3 ore
- Continuità e limiti di funzioni. Intorni di infinito.
- Funzioni inverse e regioni fondamentali. Radice quadrata
principale e logaritmo principale.
- Discontinuità delle funzioni argomento, radice e logaritmo.
- 02-05-11 --- 2 ore
- Esercitazione di riepilogo sulla prima parte del corso.
- 05-05-11 --- 2 ore
- Derivabilità e differenziabilità in campo complesso.
- Condizioni di Cauchy-Riemann.
- 06-05-11 --- 2 ore
- Condizioni di Cauchy-Riemann in coordinate cartesiane e polari.
- Olomorfia delle funzioni elementari.
- Formula di Eulero. Funzioni circolari e iperboliche. Potenze
in campo complesso.
- 09-05-11 --- 2 ore
- Curve regolari e integrali curvilinei in campo complesso.
- Primitive di una funzione. Esempi.
- Primitive e forme differenziali lineari.
- 10-05-11 --- 2 ore
- Teorema dell'integrale nullo di Cauchy e sue conseguenze.
- Formula integrale di Cauchy.
- Serie di potenze in campo complesso.
- 11-05-11 --- 3 ore
- Richiami sulle serie di potenze in campo reale.
- Serie di potenze in campo complesso. Teorema di derivazione per serie.
- Funzioni analitiche. Analiticità delle funzioni
olomorfe.
- Alcune proprietà delle funzioni analitiche: principio di
identità, prolungamento analitico.
- 16-05-11 --- 2 ore
- Applicazioni del teorema dell'integrale nullo: integrali di Fresnel.
- Singolarità isolate e loro classificazione. Definizione
di residuo.
- 17-05-11 --- 2 ore
- Serie bilatere. Sviluppo in serie di Laurent.
- Teorema di Laurent, sviluppabilità in serie bilatera.
- Classificazione delle singolarità isolate con le serie
di Laurent e applicazione al calcolo di residui.
- 18-05-11 --- 3 ore
- Teorema dei residui.
- Calcolo di integrali con il metodo dei residui.
- Lemma del grande cerchio e del piccolo cerchio.
- Lemma di Jordan.
- Esercizi vari.
Serie di Fourier. Trasformate di Fourier e di Laplace.
- 19-05-11 --- 2 ore
- Richiami sugli integrali impropri.
- Funzioni generalmente continue. Funzioni sommabili.
- 20-05-11 --- 2 ore
- Esercizi su sviluppi in serie e classificazione delle
singolarità isolate.
- Esercizi vari sul calcolo di integrali con il metodo dei residui.
- 23-05-11 --- 2 ore
- Richiami sugli spazi vettoriali complessi.
- Proiezioni ortogonali. Disuguaglianza di Bessel.
- Serie di Fourier e loro espressione in forma
complessa. Convergenza in norma quadratica.
- 24-05-11 --- 2 ore
- Convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier.
- Definizione di trasformata di Fourier (TF).
- Linearità e simmetria della TF.
- 24-05-11 --- 2 ore
- Esercizi su sviluppi in serie, classificazione delle
singolarità isolate, calcolo di integrali con il metodo dei
residui.
- 25-05-11 --- 3 ore
- Continuità e proprietà
asintotiche della TF.
- Teorema della convergenza dominata di Lebesgue (enunciato).
- Formula di inversione e di dualità.
- Proprietà algebriche e differenziali della TF.
- TF della derivata e derivata della TF.
- Esempi di TF.
- 30-05-11 --- 2 ore
- TF della gaussiana.
- I teoremi di Fubini e Tonelli (enunciato).
- Prodotto di convoluzione e sua TF. Esempi.
- 31-05-11 --- 2 ore
- Funzioni a decrescenza rapida e operatore TF su tale
spazio. Teorema di Plancherel.
- Definizione di trasformata di Laplace (TL). Primi esempi di TL.
- Proprietà asintotiche della TL. Derivata della TL.
- 31-05-11 --- 2 ore
- Esercizi su calcolo
di integrali e trasformate di Fourier.
- 01-06-11 --- 3 ore
- Proprietà algebriche e differenziali della TL.
- TL della derivata. Esempi.
- Teorema del valore finale e del valore iniziale.
- Inversione della TL e legame con la trasformata di Fourier.
- TL di segnali periodici.
- Prodotto di convoluzione e sua TL.
- 06-06-11 --- 2 ore
- Esercizi sull'utilizzo della Trasformata di Laplace nelle equazioni
differenziali.
- 07-06-11 --- 2 ore
- Funzioni Gamma e Beta di Eulero.
- Prodotti di serie bilatere.
- Funzioni di Bessel. Formule ricorsive.
- 08-06-11 --- 3 ore
- Equazioni di Bessel.
- Esercizi di riepilogo.
- Esercitazioni svolte : 10 ore