Corso di Geometria - Ingegneria Civile e Ambientale - A.A. 2011-2012

Docente: Dott. Alessandro Calamai

Lezioni Svolte

• 26-09-11
  • Campi numerici: Q, R, C.
  • Definizione di spazio vettoriale reale.
  • Esempi di spazi vettoriali: R^2, R^3, R^n, R[t], lo spazio delle matrici.
  
  
• 27-09-11
  • Altri esempi di spazi vettoriali: lo spazio delle funzioni a valori reali, lo spazio nullo.
  • Definizione di sottospazio vettoriale.
  • Esempi di sottospazi.
  • Combinazioni lineari, sottospazio generato da k vettori: Span(v_1,...,v_k).
  
  
• Si consiglia di svolgere la prima scheda di esercizi (Sottospazi vettoriali): materiale didattico
  
  
• 29-09-11
  • Definizione di dipendenza lineare e di indipendenza lineare.
  • Definizione di base di uno spazio vettoriale.
  • Esempi di basi, basi canoniche.
  • Coordinate rispetto a una base, teorema delle coordinate.
  
  
• 03-10-11
  • Insiemi massimali di vettori linearmente indipendenti e loro caratterizzazione come basi.
  • Esistenza delle basi di uno spazio finitamente generato.
  • Teorema del completamento.
  
  
• 04-10-11
  • Teorema del completamento (dimostrazione).
  • Corollari del teorema del completamento.
  • Definizione di dimensione di uno spazio vettoriale.
  • Esercizi su basi e dimensione di uno spazio vettoriale.
  
  
• 06-10-11
  • Esercizi di applicazione del teorema del completamento.
  • Sottospazi somma e intersezione.
  • Teorema di Grassmann.
  • Somma diretta e sottospazi supplementari.
  • Unicita' della decomposizione rispetto a due sottospazi supplementari.
  • Esistenza (e non unicita') del supplementare.
  
  
• Si consiglia di svolgere la seconda scheda di esercizi (Basi): materiale didattico
  
  
• 10-10-11
  • Esercizi di applicazione del teorema di Grassmann. Esercizi su somma diretta e spazi supplementari.
  • Richiami sulla teoria delle funzioni: applicazione iniettiva, suriettiva e biunivoca.
  • Definizione di applicazione lineare.
  • Esempi: traccia di una matrice quadrata, trasposta di una matrice.
  • Applicazione lineare coordinate.
  
  
• 11-10-11
  • Altri esempi: applicazione lineare associata a una matrice A.
  • Derivata di un polinomio.
  • Teorema dell'applicazione lineare.
  • Definizione di nucleo e immagine di un'applicazione lineare.
  • Nucleo e immagine sono sottospazi.
  • Criterio di iniettivita' e suriettivita' per un'applicazione lineare.
  
  
• Si consiglia di svolgere la terza scheda di esercizi (Spazi supplementari e Applicazioni lineari): materiale didattico
  
  
• 13-10-11
  • Definizione di rango di una applicazione lineare. Generatori di ImT.
  • Rango di una matrice.
  • Teorema della dimensione e corollari.
  • Sistemi lineari: matrice dei coefficienti e matrice completa.
  • Teorema di struttura per i sistemi lineari.
  
  
• Si consiglia di svolgere la quarta scheda di esercizi (Teorema della dimensione): materiale didattico
  
  
• 17-10-11
  • Definizione di sottospazio affine e sua dimensione.
  • Teorema di Rouche'-Capelli.
  • rg(A)=rg(A^T).
  • Matrici e sistemi a scala. Risoluzione all'indietro.
  • Rango e immagine di una matrice a scala.
  
  
• 18-10-11
  • Operazioni elementari del metodo di Gauss.
  • Metodo di Gauss: algoritmo per ridurre a scala una matrice qualsiasi.
  • Risoluzione di sistemi qualsiasi tramite la riduzione a scala.
  • Studio di sistemi con parametro.
  • Tecniche di calcolo: base di immagine e nucleo.
  
  
• 19-10-11
  • Esercitazioni Dott. Brambilla.
  
  
• 20-10-11
  • Tecniche di calcolo: trovare una base, completare a una base.
  • Tecniche di calcolo: base di somma e intersezione.
  • Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini di R^n.
  
  
• Si consiglia di svolgere la quinta scheda di esercizi (Metodo di Gauss): materiale didattico
  
  
• 24-10-11
  • Tecniche di calcolo: come si passa da equazioni cartesiane a parametriche e viceversa.
  • Lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari tra V e W.
  • Composizione di applicazioni lineari, definizione di isomorfismo.
  • Caratterizzazione degli isomorfismi.
  • L'isomorfismo coordinate tra V e R^n.
  
  
• 25-10-11
  • L'isomorfismo tra lo spazio delle applicazioni lineari tra R^n e R^m e lo spazio delle matrici mxn.
  • Definizione del prodotto righe per colonne.
  • Proprieta' del prodotto righe per colonne.
  • Definizione di matrice invertibile e proprieta' dell'inversa.
  • Caratterizzazione delle matrici invertibili (Teorema delle 10+1 equivalenze).
  
  
• Si consiglia di svolgere la sesta scheda di esercizi (Isomorfismi): materiale didattico
  
  
• 27-10-11
  • Calcolo dell'inversa di una matrice: caso 2x2 e tramite riduzione a scala.
  • Esempi ed esercizi.
  • Definizione della matrice di cambiamento di base.
  
  
• 07-11-11
  • Matrice di cambiamento di base: esempi ed esercizi.
  • Calcolo della matrice di cambiamento di base tramite una base ausiliaria.
  • Matrice associata ad una applicazione lineare da V in W rispetto a basi fissate B e C.
  
  
• 08-11-11
  • Come cambia la matrice associata ad una applicazione lineare al variare delle basi.
  • Esempi ed esercizi.
  • Caso degli endomorfismi. Matrici simili.
  • La similitudine e' relazione di equivalenza.
  • Il determinante di una matrice di ordine 2.
  
  
• Si consiglia di svolgere la settima scheda di esercizi (Matrici): materiale didattico
  
  
• 09-11-11
  • Esercitazioni Dott. Brambilla.
  
  
• 10-11-11
  • Definizione assiomatica del determinante e teorema di esistenza e unicita' (senza dimostrazione).
  • Proprieta' del determinante.
  • Effetto delle operazioni elementari (su righe o colonne) sul calcolo del determinante.
  • Sviluppo di Laplace rispetto a una riga o a una colonna.
  • Metodo di Sarrus per matrici di ordine 3.
  • Teorema di Binet (senza dimostrazione).
  • Corollari del teorema di Binet.
  
  
• 14-11-11
  • Teorema di Cramer. Esempio di risoluzione di un sistema nxn.
  • Metodo degli orlati per calcolare il rango di una matrice. (senza dimostrazione).
  • Esempi. Applicazioni del teorema degli orlati e del teorema di Cramer ai sistemi mxn.
  • Matrice cofattore. Calcolo della matrice inversa con la matrice cofattore.
  • Definizione di autovettore, autovalore, spettro, autospazio.
  
  
• Si consiglia di svolgere l'ottava scheda di esercizi (Determinante): materiale didattico
  
  
• 15-11-11
  • Endomorfismi diagonalizzabili.
  • Il polinomio caratteristico di un endomorfismo.
  • Proprieta' del polinomio caratteristico.
  • Legame tra radici del polinomio caratteristico e autovalori di T.
  • Endormorfismi triangolabili e criterio necessario per la triangolabilita'.
  • Criterio necessario per la diagonalizzabilita'.
  • Lineare indipendenza di autovalori relativi ad autovalori distinti.
  • Criterio sufficiente per la diagonalizzabilita'.
  
  
• 17-11-11
  • Lineare indipendenza di autovalori relativi ad autovalori distinti (dimostrazione).
  • Criteri per la diagonalizzabilita'.
  • Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore.
  • Relazione tra molteplicita' algebrica e molteplicita' geometrica.
  • Criterio necessario e sufficiente per la diagonalizzabilita' di un endomorfismo.
  • Schema per lo studio della diagonalizzabilita'.
  
  
• 18-11-11
  • Esercizi sulla diagonalizzazione.
  • Criteri per la similitudine di matrici.
  
  
• Si consiglia di svolgere la nona scheda di esercizi (Diagonalizzazione): materiale didattico
  
  
• 21-11-11
  • Prodotto scalare canonico in R^n: definizione e proprieta'.
  • Definizione di forma bilineare simmetrica (F.B.S. o prodotto scalare generalizzato).
  • Definizione di F.B.S. degenere e non degenere.
  • Definizione di F.B.S. definita positiva (negativa), semidefinita positiva (negativa), indefinita.
  • Relazione tra degenericita' e segno di una forma bilineare simmetrica.
  
  
• 22-11-11
  • Matrice associata a una forma bilineare.
  • Come cambia la matrice al variare della base.
  • Matrici congruenti.
  • Proprieta' della matrice che rappresenta la forma bilineare.
  • Criterio per lo studio del segno di una F.B.S. (senza dimostrazione).
  
  
• Si consiglia di svolgere la decima scheda di esercizi (Forme Bilineari Simmetriche): materiale didattico
  
  
• 24-11-11
  • Definizione di spazio vettoriale metrico. Norma.
  • Proprieta' della norma.
  • Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare.
  • Definizione di distanza e angolo. Definizione di vettori ortogonali.
  • Vettori ortogonali sono linearmente indipendenti.
  • Basi ortogonali e ortonormali.
  • Proprieta' delle basi ortogonali e ortonormali. Coefficienti di Fourier.
  
  
• 25-11-11
  • Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt (senza dimostrazione). Esempio di applicazione.
  • Esistenza e unicita' della base ortonormale costruita con il procedimento di Gram-Schmidt.
  • Definizione di proiezione ortogonale e sue proprieta'.
  • Definizione di ortogonale di un sottoinsieme e di supplemento ortogonale di un sottospazio. Relative proprieta'.
  • Criterio di Cartesio.
  
  
• Si consiglia di svolgere l'undicesima scheda di esercizi (Basi ortogonali): materiale didattico
  
  
• 28-11-11
  • Esercizi di riepilogo su degenericita' e segno di una forma bilineare simmetrica.
  • Esercizi su proiezioni ortogonali e supplemento ortogonale di un sottospazio.
  • Definizione di endomorfismo simmetrico in uno spazio vettoriale metrico.
  • Autovettori relativi ad autovalori distinti di un endomorfismo simmetrico sono ortogonali.
  • Proprieta' degli endomorfismi simmetrici. Sottospazi invarianti.
  • Richiami sui numeri complessi. Forma algebrica. Modulo e coniugato.
  
  
• 29-11-11
  • Definizione e proprieta' del prodotto hermitiano canonico su C^n.
  • Teorema spettrale con dimostrazione.
  • Corollari del teorema spettrale.
  • Definizione di matrice ortogonale.
  
  
• 30-11-11
  • Esercitazioni Dott. Brambilla.
  
  
• 01-12-11
  • Proprieta' delle matrici ortogonali.
  • Criterio (necessario e) sufficiente per la congruenza di due matrici simmetriche.
  • Criterio per lo studio del segno di una forma bilineare simmetrica.
  • Geometria affine. Sistema di riferimento e coordinate affini.
  • Equazioni cartesiane e parametriche di rette e piani nello spazio.
  
  
• Si consiglia di svolgere la dodicesima scheda di esercizi (Teorema spettrale): materiale didattico
  
  
• 02-12-11
  • Stella di rette per un punto. Retta per due punti.
  • Stella di piani per un punto. Fascio di piani per due punti. Piano per tre punti non allineati.
  • Posizioni reciproche di due rette nello spazio.
  • Esempi ed esercizi.
  
  
• 05-12-11
  • Posizioni reciproche di una retta e un piano nello spazio.
  • Fascio di piani di asse r. Piano per una retta e un punto. Piano per due rette.
  • Posizioni reciproche di due piani nello spazio.
  • Esempi ed esercizi.
  
  
• 06-12-11
  • Sistemi di riferimento affini. Formula del cambiamento di coordinate affini.
  • Orientazione di un sistema di riferimento.
  • Geometria euclidea. Sistema di riferimento e coordinate cartesiane.
  • Esempi ed esercizi.
  
  
• 12-12-11
  • Retta orientata, angolo tra due rette. Proiezione ortogonale di un punto su una retta.
  • Piano orientato, angolo tra due piani. Proiezione ortogonale di un punto su un piano. Angolo tra una retta e un piano.
  • Distanza tra due punti.
  • Distanza di un punto da una retta. Distanza di un punto da un piano.
  
  
• 13-12-11
  • Il prodotto vettore. Definizione e proprieta'. Formula per la distanza di un punto da una retta.
  • Il prodotto misto. Distanza tra due rette.
  • Richiami sulle coniche. Equazioni cartesiane e parametriche di ellisse, iperbole, parabola.
  
  
• 15-12-11
  • Classificazione metrica e affine delle coniche del piano.
  • Forma canonica metrica e affine. Schema per la riduzione in forma canonica.
  • Introduzione alle quadriche. Equazioni cartesiane delle quadriche non degeneri. Ellissoide, iperboloide (a 1 e 2 falde), paraboloide (ellittico e a sella).
  • Quadriche degeneri: cono, cilindro, piani.
  
  
• 15-12-11
  • Classificazione metrica e affine delle quadriche dello spazio.
  • Forma canonica metrica e affine. Esempi di riduzione in forma canonica.
  • Retta tangente a una conica in un suo punto. Piano tangente a una quadrica in un suo punto.
  • Esempi ed esercizi.
  
  
• 19-12-11
  • Esercizi di riepilogo.